φ 黄金比例 φ 位数生成器（最多 10000 位）Golden Ratio Digits Generator (up to 10,000 digits)
用 φ = (1 + √5) / 2 和大整数平方根精确生成黄金比例小数点后 1–10000 位，也可以输出 1/φ（= φ − 1）或 φ²（= φ + 1），支持分组、复制和查找数字串。Generate the golden ratio φ = (1 + √5) / 2 to 1–10,000 decimal places with an exact big-integer square root — or its reciprocal 1/φ (= φ − 1) or square φ² (= φ + 1) — with grouping, copying and digit search.
使用说明与常见问题How-to & FAQ
「黄金比例 φ 位数生成器（最多 10000 位）」是什么？What is the Golden Ratio Digits Generator (up to 10,000 digits) tool?
用 φ = (1 + √5) / 2 和大整数平方根精确生成黄金比例小数点后 1–10000 位，也可以输出 1/φ（= φ − 1）或 φ²（= φ + 1），支持分组、复制和查找数字串。Generate the golden ratio φ = (1 + √5) / 2 to 1–10,000 decimal places with an exact big-integer square root — or its reciprocal 1/φ (= φ − 1) or square φ² (= φ + 1) — with grouping, copying and digit search.
如何使用「黄金比例 φ 位数生成器（最多 10000 位）」？How do I use the Golden Ratio Digits Generator (up to 10,000 digits) tool?
在「黄金比例 φ 位数生成器（最多 10000 位）」中，填写「输出」、「小数位数（1–10000）」、「分组」、「查找数字串（可选）」等参数，结果会随输入实时计算并显示在下方。In the Golden Ratio Digits Generator (up to 10,000 digits): Fill in "Output", "Decimal places (1–10000)", "Grouping", "Find digits (optional)"; results are recalculated instantly as you type.
怎么保证每一位都准确？How is every digit guaranteed to be right?
φ·10ⁿ 的整数部分等于 ⌊(10ⁿ + ⌊√(5·10²ⁿ)⌋) / 2⌋，其中平方根用大整数牛顿迭代精确求出，没有任何浮点误差，因此结果是严格截断的。我们用 mpmath 核对过 10、50、1000、10000 位。The integer part of φ·10ⁿ equals ⌊(10ⁿ + ⌊√(5·10²ⁿ)⌋) / 2⌋, with the square root found exactly by big-integer Newton iteration — no floating-point error at all — so the digits are strictly truncated. Results at 10, 50, 1,000 and 10,000 places were checked against mpmath.
黄金比例是什么？What is the golden ratio?
黄金比例 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887，是满足 φ² = φ + 1 的正数：把一条线段分成两段，使整段与长段之比等于长段与短段之比，这个比值就是 φ。相邻斐波那契数之比（如 89/55）会越来越接近它。The golden ratio φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 is the positive number with φ² = φ + 1: split a line so the whole is to the longer part as the longer is to the shorter, and that ratio is φ. Ratios of consecutive Fibonacci numbers (89/55, say) get ever closer to it.
1/φ 和 φ² 为什么小数一样？Why do 1/φ and φ² have the same decimals?
由 φ² = φ + 1 两边除以 φ 得 φ = 1 + 1/φ，即 1/φ = φ − 1 ≈ 0.618…；而 φ² = φ + 1 ≈ 2.618…。它们和 φ 只差一个整数，所以小数部分完全一样。Dividing φ² = φ + 1 by φ gives φ = 1 + 1/φ, so 1/φ = φ − 1 ≈ 0.618…, while φ² = φ + 1 ≈ 2.618…. They differ from φ by a whole number, so the decimals are identical.
「黄金比例 φ 位数生成器（最多 10000 位）」免费吗？需要注册吗？Is the Golden Ratio Digits Generator (up to 10,000 digits) free? Do I need an account?
「黄金比例 φ 位数生成器（最多 10000 位）」完全免费，无需注册或安装，打开网页即可使用，手机和电脑都能用；输入的内容只在你的浏览器本地处理。The Golden Ratio Digits Generator (up to 10,000 digits) is completely free with no sign-up or install and works on phones and desktops; what you enter is processed only in your browser.